Pourquoi le kaddish que certains rajoutent à la fin de la téfila n’est-il écrit dans aucun de mes sidourim ?

Chalom Rav,

Tous les matins, après « alénou léchabéah » à la synagogue, le rabbin rajoute à kaddish qui ne figure dans aucun siddour (Patah Eliayhou, Magen Avraham, l’Arme de la Parole, etc).

Dans beaucoup de synagogues j’ai vu qu’ils le faisait, et pourtant je ne le vois écrit nul part, car dans les siddourim, le dernier kaddish se dit justement avant « alénou léchabéah ».

1. Pourquoi n’est-il écrit dans aucun de ces trois sidourim cités
   (qui sont quand même utilisés par beaucoup de personnes) ?
2. Pourquoi alors le faire ?

Merci !